■ 3x＋2xを，どう計算していますか
高校生の皆さん。
いきなりですが，
3x＋2x
を，どのように計算しますか。
「3x たす 2x イコール 5x」
と考えたあなた。
もしかすると，計算に
少し時間がかかっているかもしれません。
途中で符号ミスや書き写しミスをすることも，
少なくないかもしれません。
一方で，
「3 たす 2 で，5x」
と考えたあなた。
かなり速く計算できていると思います。
しかも，あまり計算ミスをしないはずです。
違いは，どこにあるのでしょうか。
前者は，
3x と 2x を，文字まで含めて見ています。
後者は，
x は同じ形だと見て，
係数の 3 と 2 だけを計算しています。
つまり，
3x＋2x
で本当に動かしているのは，
x ではありません。
動かしているのは，
前についている数字，つまり係数です。
だから，
3x＋2x
＝(3＋2)x
＝5x
と見ればよいのです。
文字はそのまま。
係数だけを見る。
これが，計算を速くする大事な見方です。
■ じょん先生は，式の見方から見る
学校や塾の先生も，
計算が速い先生ほど，
実は係数だけを見て計算していることが多いと思います。
ただ，先生自身にとっては，
それがあまりにも当たり前になっているため，
わざわざ言葉にして教えないことがあります。
3x＋2x を見たときに，
「3 たす 2 で，5x」
と見る。
長い式を見たときに，
文字を全部追いかけるのではなく，
同じ形を見つけて，係数だけを見る。
先生自身は，そうやって計算している。
でも，生徒も同じように見ているかどうか。
そこまでは，意外と見られていないことがあります。
じょん先生は，そこを見ます。
答えが合っているかどうかだけではなく，
その子が式のどこを見ているのか。
何を頭の中で処理しているのか。
どこで手が止まるのか。
どこでミスが起きやすいのか。
そこから見ます。
そして，
ここは書いた方がいい。
ここは係数だけを見ればいい。
ここは文字を全部追わなくていい。
というところから教えます。
計算が遅い子は，
努力していないのではありません。
見ている場所が多すぎるだけのことがあります。
まじめに全部書いているのに，
なぜか計算が遅い。
しかも，途中でよく間違える。
一方で，計算の速い子は，
途中式が少ないのに，答えが合っている。
これは，雑に計算しているからではありません。
見ている場所が少ないからです。
見る場所を減らす。
でも，書くべきところは書く。
この切り分けができると，
計算はかなり変わります。
■ 全部展開してから整理しなくてもよい
高校数学では，次のような式がよく出てきます。
(2x³−4x²＋3x−1)−(3x³−4x−1)
これを，すべて書き出すと，
(2x³−4x²＋3x−1)−(3x³−4x−1)
＝2x³−4x²＋3x−1−3x³＋4x＋1
＝−x³−4x²＋7x
となります。
もちろん，答えは合っています。
でも，毎回すべてを書き出してから
整理していると，
式が長くなるほど時間がかかります。
速く見るなら，係数だけを見ます。
まず，
3x³−4x−1
には，x² の項がありません。
だから，
3x³−4x−1
＝3x³＋0x²−4x−1
と見ます。
すると，
x³ の係数：2−3＝−1
x² の係数：−4−0＝−4
x の係数：3−(−4)＝7
定数項：−1−(−1)＝0
です。
だから，
−x³−4x²＋7x
と分かります。
ここで見ているのは，
文字そのものではありません。
見ているのは，
x³ の係数
x² の係数
x の係数
定数項
です。
文字を全部動かさず，
同じ形ごとに係数を見る。
これだけで，かなり計算が整理されます。
■ 省くところと，書くところを分ける
ここで大事なのは，
係数だけを見るというのは，
何でもかんでも頭の中で計算するという意味ではない，
ということです。
かと言って，
すべてを長々と書く必要もありません。
大事なのは，
省いてよいところを省き，書くべきところを書くこと
です。
たとえば，
A＝x²＋4x−3
B＝2x²−x＋4
のとき，
A＋B＋2(A−B)
を計算する問題を考えます。
もちろん，いきなり A や B を代入して
全部展開しても，答えは出せます。
でも，そのまま進めると，
式が長くなり，ミスもしやすくなります。
だから，まず A と B の形のまま整理します。
A＋B＋2(A−B)
＝A＋B＋2A−2B
＝3A−B
ここは，1行だけ途中式を書いた方が安全です。
ここを間違えてしまったら，
あとの努力がすべて無駄になるからです。
その後，
3A−B
＝3(x²＋4x−3)−(2x²−x＋4)
ここからは，係数だけを見ます。
x² の係数は，
3−2＝1
x の係数は，
12−(−1)＝13
定数項は，
−9−4＝−13
だから，
3A−B
＝x²＋13x−13
となります。
この問題で大事なのは，
最初から最後まで頭の中で処理することではありません。
まず，
A＋B＋2(A−B)
＝3A−B
という形に整理する。
ここは書く。
そのあと，
同じ形の係数を見て計算する。
ここは，全部を書き出さなくてもよい。
ミスしやすいところは書く。
同じ形をまとめるところは，係数だけを見る。
この切り分けができると，
計算は速くなります。
しかも，正確になります。
■ 途中式を書かないことが目的ではない
計算の速い子は，
途中式を書かない子ではありません。
書くべきところを書き，
省いてよいところを省いています。
たとえば，
符号が変わるところ。
かっこの前にマイナスがあるところ。
項が抜けているところ。
式全体の形を整理するところ。
こういうところは，
無理に頭の中で済ませる必要はありません。
むしろ，1行書いた方が安全です。
反対に，
同じ形のものをまとめるだけなら，
文字まで全部追いかける必要はありません。
係数だけを見れば十分です。
つまり，目指すのは，
途中式を全部省く計算
ではありません。
必要なところは書き，
省いてよいところは省く計算
です。
この区別ができているから，
速いのに合っているのです。
■ 高1・高2のうちに身につけたい
この見方は，
高校1年生や高校2年生のうちに身につけておくと，
その後の高校数学でかなり楽になります。
高1で展開や式の整理を学ぶときに，
文字を全部追わない。
同じ形を見つける。
係数だけを見る。
この習慣をつけておく。
それだけで，
計算の負担はかなり減ります。
もちろん，高校3年生にも役立ちます。
ただし，受験期に入ってから急に
今までの計算の型を全部変えるのは，
少し慎重に考えた方がよいと思います。
高3の場合は，
今までのやり方を否定するのではなく，
見直しや確認のための視点として使うのがよいでしょう。
■ 私自身も，いつからそうしていたかは分かりません
正直に言うと，
私自身も，学生時代からいつもそうやって計算していたかどうかは，
はっきり覚えていません。
何せ，家庭教師を始めたのが約30年前です。
たとえば，間違えた問題にしるしをつける
「ふす・ふね・ころも」という方法については，
昔使っていた問題集にその記号が残っています。
ですから，その方法がいつ頃，
自分の中で確立したのかは，
ある程度はっきり分かります。
でも，今回の
「係数だけを見る」
という計算の見方については，
いつからそうしていたのか，はっきり覚えていません。
もしかすると，
学生時代から自然にそうしていたのかもしれません。
あるいは，家庭教師として生徒さんの計算を見るようになってから，
「これは係数だけを見た方が速いな」
と意識するようになったのかもしれません（笑）。
ただ，今ははっきり言えます。
同じ形を見つけて，
係数だけを見る。
この見方があるだけで，
高校数学の計算はかなり楽になります。
■ まとめ
計算は，全部を展開してから整理するだけではありません。
同じ形を見つける。
文字はそのままにする。
係数だけを見る。
そして，ミスしやすいところは書く。
この切り分けができると，
計算は速くなります。
しかも，正確になります。
次回は，この見方をもう一歩進めます。
たすき掛けも，
文字ではなく係数だけで見る。
展開の段階から真ん中の係数を見ることで，
因数分解にもつながる考え方を扱います。
コメント